運動エネルギーの導出のためにはいろいろ準備が必要ですが、一応簡潔にまとめてみました。

  　ニュートンの運動の法則によると、力 \(F\) を物体の質量 \(m\) で割ったものが、速度 \(v\) の時間微分 \( \frac{dv}{dt} \)（これを加速度といいます）に等しくなります。すなわち、\(\frac{F}{m} = \frac{dv}{dt}\) あるいは \( F = m \frac{dv}{dt} \) で与えられます。また力 \(F\) が働いて短い時間 \(dt\) の間に、速度 \(v\) で移動した距離 \(dx\) は \(v \,dt\)、すなわち \(dx = v \, dt\) であり、そのときのエネルギーは  (力) × (移動距離) 、すなわち \(F \, dx\) ですので、その運動を引き起こすのに必要なエネルギーは　 \[ \int F \, dx = \int m ( \frac{dv}{dt}) \, (v dt) = \int mv \, dv = \frac{1}{2} mv^{2} \] となります。